近160年来，一代又一代的数学家都遭受着黎曼ζ函数的“虐待”，在各种死胡同中打转。 它被称为“最重要的未解决数学问题”，甚至还有100万美元的悬赏。现在，有人在PRL发了一篇论文，这似乎是解决这一难题的关键。
1859年，德国数学家波恩哈德·黎曼在论文中提出，黎曼ζ函数能够让我们轻松地驾驭素数的世界，当然，前提是我们先证明它。素数之所以难以识别和预测，原因在于它们的出现可以说是完全随机的。尽管有些潜在的线索和规律，我们却尚未证实。
寻找素数
黎曼ζ函数假定能够让我们通过一个公式，计算出在某个给定的数值N内，存在多少个素数。黎曼认为，N与非平凡零点，即ζ(s)相关。其中，零点是函数的解，也就是函数等于0时的s值。这非常强大，近几十年来，很多算法都是在假设其为真的情况下构造出来的，尤其在安全和密码学领域。如果这一函数能够被证明，它将开辟数学的一个新大陆，就像代数论当初带来的变革那样。
当然，如果有人能够将黎曼的假设证伪，那么用意大利数论学家Enrico Bombieri的话说：“这种失败将带来素数分布的一场浩劫。”
数学界的七大千年悬赏问题，每一个都价值100万美元。黎曼ζ函数被纳入其中，不仅在于其假设的重要性，还在于其令人难以想象的困难程度。
黎曼的假设可以这样描述：在复平面上，所有非平凡零点都位于直线 (½ + it) 之上。
Matt Parker形容地很妙：“假如你设想出两个初始坐标系，描述经度和维度的数值，那么黎曼ζ函数能够得到每个点的海拔高度，从而构建出一副满是山峦和沟壑的数学地貌图。当黎曼研究这些地形时，发现所有具有零海拔的位置都沿着一条值为0.5的“经度”直线排布，这是完全意料之外的。”
黎曼通过这些零点，构成方程，描述素数的分布。不过他没能证明它们都落在同一条直线上。我们能够证明前一千亿，前一万亿个零点都落在那条线上，但是后面怎么办？该如何证明无限的零点依然遵循同样的趋势？
哈密顿算符
早在1999年，数学家Michael Berry和Jonathan Keating在研究Hilbert-Pólya猜想时提出了另一个重要猜想。如果存在这样一个算符，那么其独特属性应符合理论量子系统。这就是后来的Berry-Keating猜想，一直以来，也没有人能够解决。
布鲁内尔大学金融数学组，中间为Dorje Brody教授
现在，来自美国、加拿大和英国的三位数学家 (Carl Bender, Markus Müller, Dorje Brody) 走出了这一步。他们通过量子机制来解决这一问题，所借用的正是上述概念，即存在一个量子系统，其能态和ζ函数中假设的零点对应。与量子物理的结合，使得这一问题变得更加有趣。
“我们确定了Berry-Keating哈密顿算符的一个量子化条件，从而证实了Berry-Keating猜想的有效性。”Brody介绍。他们确定的是一个被称作哈密顿算符 (Hamiltonian operator) 的实分量（记为H），这可以作为这种量子系统存在证据的关键。数学界目前也已经就相关结论热议起来：
“如果这些分析能够得到充分说明，表明H是显然自伴的，那么这将意味着黎曼的假设是正确的。”
通常，哈密顿函数被用来描述物理系统的能量。但是，新提出的算符并非用来形容任何物理系统的，可以说这是一个纯粹的数学函数。Brody自己也觉得：“这可能有点令人失望，这样一个哈密顿函数似乎并不能表示任何一个物理系统，至少我们目前尚未发现它与任何物理系统相匹配。”
PRL？
也许有人注意到了，为什么这篇文章发到了PRL上面？Brody自己是这样解释的：论文中一些启发式分析所用到的很多技巧都来自伪厄米的PT-对称量子理论。通常，人们对Hilbert-Pólya猜想的理解是哈密顿算符应该是厄米算符，这很容易让人将其和量子理论联系起来，因为哈密顿算符往往要求是厄米算符。我们所提出的是Hilbert-Pólya问题的伪厄米形式，因为这看起来值得深入探索。
实数解
接下来的重要问题是表明算符的本征值为实数。一般来说，研究人员可能会乐观地认为本征值就是实数，他们也会基于量子物理中的PT-对称概念来论述这一问题。按照PT-对称的概念，你可以改变时空系统（三维空间和一维时间）所有四维实数的符号，如果系统是PT-对称的，那么得到结果看起来和原来是一样的。
虽然自然界中基本上没有PT-对称，物理学者们构造的算符却是符合这种条件的。不过现在，研究人员希望打破这种对称。如果算符虚数部分的PT-对称可以打破，那么就意味着其本征值将全部为实数，从而构成了黎曼猜想的证据。
总而言之，如果存在这样一个系统，那么黎曼假设将立即适用。这一想法值得数学家引起重视，但它到底能否作为解决最重要的纯数学问题之一的钥匙，学界人士尚没有做出最终论断。用纽约大学数学家Paul Bourgade的话说：
“我需要更多的时间才能对这一发现的重要性给出意见，这可是关乎黎曼假设的事情。”
参考文献
http://www.sciencealert.com/this-paper-could-be-the-key-to-solving-a-160-year-old-million-dollar-maths-problem
https://phys.org/news/2017-04-insight-math-million-dollar-problem-riemann.html
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